Pythagorean Theorem: Euclid's proof⁠

Теорема Пифагора (и обратная к ней) завершает книгу первую «Начал» Евклида. Предложение XLVII (47) гласит: в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

Изящное и элементарное доказательство теоремы Пифагора типа «Смотри!», по сути аналогичное приведённому в «Началах», можно представить в картинках. Разделим квадрат, построенный на гипотенузе, на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший — квадрату, построенному на большем катете.

В приводимых ниже вариациях доказательства Евклида площади фигур не меняются при перекашивании: их основания и высоты всегда остаются постоянными.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в «Началах» и получившего название «wind­mill proof» (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.