Два одинаковых круга, вставленные друг в друга под прямым углом, — очень простая конструкция. Но её выпуклая оболочка — олоид — обладает несколькими занимательными свойствами.
Соединим два одинаковых круга так, чтобы они были перпендикулярны друг другу, а граница каждого проходила через центр другого.
Если такую конструкцию катнуть по столу, то она будет ехать «по прямой», покачиваясь из стороны в сторону. При этом точки касания кругов со столом будут оставлять на его поверхности извилистые следы.
Олоид — это выпуклая оболочка двух таких кругов, то есть наименьшее выпуклое тело, содержащее их. На его поверхности лежат по две трети каждой из исходных окружностей — дуги по $240^\circ$. При качении без проскальзывания олоид повторяет движение конструкции из двух кругов.
Некоторые интересные свойства олоида
- При качении олоид касается плоскости по отрезку — одной из образующих его поверхности. За полный цикл качения каждая точка поверхности хотя бы раз касается плоскости.
- Олоид — развёртываемая фигура: его развёртку можно положить на плоскость без растяжений и сжатий. Поэтому модель олоида можно склеить из плоской бумажной развёртки, которую легко найти в интернете.
- Площадь поверхности олоида равна $S=4\pi R^2$, где $R$ — радиус исходных кругов. Эта формула узнаваема как площадь сферы, при этом объём олоида меньше 3/4 соответствующего шара. Другая трактовка формулы: площадь оболочки олоида равна суммарной площади обеих сторон двух исходных дисков.
- В олоид можно вписать эллипсоид вращения, который, двигаясь вместе с олоидом, будет всё время касаться опорной плоскости. Фокусы этого эллипсоида расположены в центрах окружностей, а полуоси равны $a=\frac{\sqrt{3}}{2}R$, $b=c=\frac{R}{\sqrt{2}}$.
