Train wheels⁠

Многие мечтали прокатиться в кабине машиниста поезда метро. На самом деле, ехать по прямой в туннеле, который есть просто прямолинейный цилиндр, не так увлекательно. Разнообразие вносят повороты.

А как поворачивают вагоны метро? Ведь правое и левое колеса жёстко скреплены друг с другом. Между тем, в повороте радиус внешнего рельса больше радиуса внутреннего, а значит, и длина дуги окружности, которую должно проходить внешнее колесо, должна быть больше пути внутреннего колеса. При этом необходимо, чтобы ни одно из колёс не проскальзывало относительно рельса.

Рассмотрим упрощённую модель, которая всё же хорошо передаёт суть происходящего. Колёса в этой модели — два одинаковых усечённых конуса, жёстко соединённых осью. Профиль рабочей поверхности рельса — дуга окружности. Если бы рельсы укладывались вертикально, то испытывали бы лишние нагрузки — колесо давит на рельс перпендикулярно своей поверхности. Поэтому, фиксируя рельсы в шпале, их немного наклоняют внутрь, чтобы ось была перпендикулярна поверхности колеса-конуса.

Проследим за тем, как колёсная пара проходит повороты. Оказывается, она смещается относительно рельс!

Разберёмся, как устроен сам поворот. После прямого отрезка пути идёт вход в поворот — участок с переменным радиусом, потом идёт основной участок — постоянного радиуса, т. е. дуга окружности. Для того, чтобы пассажиров не кидало из стороны в сторону при переходе с одного участка на другой, должно выполняться очень сильное условие — непрерывность второй производной траектории пути при переходе между участками.

Касание колеса-конуса и рабочей поверхности рельса происходит по точке. При повороте точка касания смещается относительно конуса. Проведём через точки касания окружности. При центрированном положении колёсной пары эти окружности для внутреннего и внешнего колеса одинаковы. А при смещённом — окружность для внутреннего колеса меньше, чем внешнего. Таким образом, можно считать, что колёса имеют переменный радиус. И раз радиус внутреннего колеса меньше радиуса внешнего, то, когда колёса едут по рельсам без проскальзывания, внутреннее колесо проходит меньший путь, чем внешнее.

Почему же колёсная пара смещается относительно рельс в повороте? Оказывается, никакой физики. Только геометрия, при этом очень красивая! Когда рельсы поворачивают, они сами вызывают смещение колёсной пары ровно настолько, насколько нужно — так, чтобы внешнее и внутреннее колёса катились без проскальзывания.

Хорошая модель должна учитывать самые важные свойства изучаемых объектов, а несущественные детали — опускать. Такова и рассмотренная модель, но в жизни всё сложнее. По ГОСТу рабочая поверхность колеса состоит из двух конусов немного разного сужения. Есть ещё реборда — выступ, препятствующий соскакиванию колеса с рельса, граница которого состоит из нескольких дуг окружностей. Рабочая поверхность рельса, которая в рассмотренной модели была дугой окружности, на самом деле — симметричная склейка пяти дуг окружностей.

Поворот колёсной пары состава существенно отличается от того, как ⁠⁠поворачивают колёса автомобиля, однако и в том, и в другом случае особую роль играет такая красивая наука — геометрия.